Stabiele configuraties van planetenstelsels

Leerling: Muriel van der Laan
Docent: Sven Aerts
School: Het 4e Gymnasium, Amsterdam

Inleiding

De afgelopen jaren is het aantal gevonden exoplaneten (planeten die om andere ster dan de zon draaien) explosief gestegen. Er bestaan hoofdzakelijk twee methoden om dit te doen: het detecteren van variatie in de lichtsterkte van de ster doordat de exoplaneet er voorlangs komt of het waarnemen van een periodieke Dopplerverschuiving in het licht van de ster. In het laatste geval varieert de golflengte van licht dat uitgezonden wordt door de ster wat erop duidt dat de ster niet geheel stilstaat, maar dat hij de zwaartekracht van een begeleidende planeet voelt en dat de twee om een punt in hun baanstelsel heen draaien. Beweegt de ster in de richting van de aarde, dan is de golflengte blauwverschoven; beweegt hij ervan weg, dan is de golflengte roodverschoven.

Het observeren van de Dopplerverschuiving veroorzaakt door een exoplaneet vertelt ons iets over de banen van planeet en ster: de banen van dit systeem voldoen aan de wetten van Kepler. Lastiger wordt het als een ster meer dan één planeet heeft. In principe voldoet een systeem van meer dan 2 lichamen ook aan de wetten van Kepler, maar het systeem is chaotisch en daarmee worden de banen onvoorspelbaar.

Vraagstelling

In dit project bestudeer ik aan welke randvoorwaarden een systeem van een ster met tenminste twee planeten moet voldoen om een zo stabiel mogelijk stelsel te vormen. Ik pas het toe op exoplanetaire systemen waarvan bekend is dat er meerdere exoplaneten om een ster draaien. Aan de hand van de eis dat het stelsel zo stabiel mogelijk moet zijn zoek ik, bij een gegeven baan van de grootste planeet, die van de kleinere planeet.

Hypothese

Mijn hypothese is dat ik de planeetbaan van de kleinere planeet kan bepalen aan de hand van de bekende baan van de grote planeet, bij een stelsel waar ten minste twee planeten om een ster draaien.

Theorie

De wetten van Kepler

Hemellichamen die om een ster draaien voldoen aan de Newtonse gravitatiewet. De wetten van Kepler voorspellen eigenschappen van de planeetbanen en kunnen als volgt worden samengevat:

1. De baan van een planeet om de zon is een ellips met de zon in één van de brandpunten.
2. Een denkbeeldige lijn tussen de zon en de planeet bestrijkt een constant oppervlak per tijdseenheid.
3. Het kwadraat van de omlooptijd van een planeet is proportioneel met de derde macht van de halve lange as.

Chaos in de planeetbeweging

Een systeem van n lichamen wordt beschreven door een set van n differentiaalvergelijkingen:

waarin r_i de posities van de verschillende lichamen zijn, m_i hun massa’s en G de gravitatieconstante.

Deze vergelijking is al tamelijk ingewikkeld. We kijken eerst naar de meest simpele variant: twee zwaardere en één verwaarloosbaar kleine die in één vlak om elkaar draaien. We nemen nu aan dat de totale massa gelijk is aan 1, de eerste massa μ en de tweede massa 1 − μ.

We kunnen nu de potentiële energie voor de derde massa uitrekenen. Een voorbeeld hiervan is te zien in Figuur 1, waar het potentiaaloppervlak voor het derde lichaam is weergegeven voor μ = 0, 9. Er zijn in dit systeem vijf punten, de zogenaamde Lagrange punten waar de potentiële energie stationair is; drie ervan zijn labiel, maar de andere twee zijn stabiel. In het tot beweging in één vlak beperkte model zijn stabiele oplossingen van vergelijking 1 mogelijk. Deze periodieke bewegingen zijn wel chaotisch.

Figuur 1 Potentiële energie van een klein lichaam in het drie-lichaamstelsel met beweging gelimiteerd in één vlak. De vijf punten zijn de stationaire Lagrange-punten

Materiaal en methode

In mijn profielwerkstuk simuleer ik de banen van een drie-lichaamstelsel nu niet meer beperkt tot beweging in één vlak. Hiertoe voer ik een numerieke integratie van de boven genoemde differentiaalvergelijkingen uit met de zogenaamde leapfrog integratiemethode. Deze methode is robuuster dan de meest simpele Euler techniek; de accuratesse van de methode heb ik getest op de bekende baan van Jupiter om de zon.

In de simulaties kies ik een aantal begincondities en integreer de bewegingsvergelijkingen over een vast aantal integratiestappen. Het criterium voor stabiliteit wordt gevormd door de zogenaamde Lyupanov exponent. Deze exponent is een maat waarin twee banen na een vast aantal integratie stappen verschillen uitgedrukt in het verschil in begincondities.

De Lyupanov exponent 𜆠is geformuleerd als

waarin r het verschil na integratietijd t en r0 het beginverschil. Het doel van de simulaties is nu om de Lyupanov exponent te minimaliseren. Ik gebruik hiervoor de Monte Carlo-techniek: een methode om de parameterruimte goed te doorzoeken en de kleinste Lyupanov exponent en daarmee het meest stabiele planetaire stelsel te vinden. Ik gebruik een aantal willekeurige beginparameters om ervoor te zorgen dat ik niet een locaal, maar het globale minimum vind.

Resultaten

Ik heb voor vijf waargenomen exoplanetaire systemen de stabielste systemen berekend: van drie ervan zijn twee exoplaneten gevonden, van de twee overige zelfs drie. Een voorbeeld van de berekende banen is gegeven in Figuur 2, waar de twee planeetbanen om de ster Gliese 777 zijn weergegeven en die van de drie planeetbanen om 47 Ursae Majoris.

Voor Gliese 777 vind ik bijvoorbeeld de stabielste configuratie waarin de tweede planeet een massa heeft van 0.06 Jupiter massa’s en het baanvlak van de tweede planeet een hoek maakt met dat van de eerste van ongeveer 60°. Voor 47 Ursae Majoris vind ik twee banen die ook een hoek van ca. 60° met de eerste planeetbaan maken.

Figuur 2 Berekende planeetbaan van Gliese 777

Figuur 3 Berekende planeetbaan van 47 Ursae Majoris

Conclusie

Als ik mijn gevonden stabiele systemen vergelijk met de waargenomen systemen vallen een aantal zaken op:

1. De massa’s die ik vind variëren van 0.5 tot 5 Jupiter massa’s. De waargenomen exoplaneten zijn weliswaar behoorlijk anders, maar binnen een grootteorde gelijk aan de hier gevonden waardes.
2. De gevonden baanafmetingen zijn ongeveer de helft van die van de eerste planeet. In werkelijkheid zit er flink meer variatie in de afmetingen. Wel zijn de banen ook in werkelijkheid cirkelvormig.
3. De hoeken tussen de gevonden banen zijn een stuk groter dan ze zijn waargenomen. Dit contrasteert met de waargenomen planeetstelsels, die nogal vlak zijn (kleine hoeken tussen de banen). Dit valt te begrijpen als het resultaat van de onstaansgeschiedenis van planeten uit de zogenaamde protoplanetaire accretieschijf.

Discussie

De hier gedane simulaties zijn helaas nogal tijd- en processorintensief, waardoor het niet makkelijk is om duidelijker trends zichtbaar te maken. Niettemin is het duidelijk dat deze methode waarden vindt die heel behoorlijk te vergelijken zijn met observaties.