Complexe getallen

Leerlingen: Kim Buddiger en Janneke Verrijdt
Docent: Mijke Campschroer
School: Elzendaalcollege, Boxmeer

Inleiding

Voor het profielwerkstuk hebben we voor het vak wiskunde gekozen. Uit de beschikbare onderwerpen hebben we gekozen voor het onderwerp complexe getallen. We gaan proberen zo duidelijk en helder mogelijk te vertellen hoe je met complexe getallen kunt rekenen en waar je ze voor kunt gebruiken. Voor mensen die nog nooit met complexe getallen in aanraking zijn geweest, is het misschien wat lastiger, maar we willen duidelijk maken hoe complexe getallen in elkaar steken.

Vraagstelling

Wat zijn complexe getallen? Hoe zijn ze ontstaan en waarbij kun je ze gebruiken?

Deelvragen
' Welke wiskundigen hebben een bijdrage geleverd aan het ontstaan van complexe getallen?
' Welke problemen hebben geleid tot het ontstaan van de complexe getallen?
' Hoe reken je met complexe getallen?
' Waar worden complexe getallen in de wiskunde voor gebruikt?

Hypothesen

Het heeft meerdere eeuwen geduurd voordat complexe getallen hun geheimzinnigheid verloren.
Rekenen met complexe getallen is niet zo moeilijk, maar als je complexe getallen echt gaat gebruiken wordt het snel moeilijker.

Wiskundigen die een bijdrage leverden aan het ontstaan van complexe getallen

Diophantus (ca. 250 na Chr.) was één van de eerste wiskundigen die ontdekte dat de verzameling van de reële getallen niet toereikend was. Hij probeerde het volgende probleem op te lossen: vind een rechthoekige driehoek waarvan de omtrek 12 is en de oppervlakte 7.

Pacioli schreef in 1494 in zijn boek 'Summa de Arithmetica' dat de vergelijking x² + c = bx onoplosbaar is tenzij b² groter of gelijk is aan 4c.

Cardano beschreef in zijn boek 'Ars Magna' uit 1545 de vergelijking x⁴ + 12 = 6x² als onmogelijk, omdat de oplossingen 'denkbeeldig' zijn. Toch gebruikte Cardano de wortel uit een negatief getal om het volgende probleem op te lossen: zoek twee getallen waarvan de som 10 is en het product 40. Hij vond de getallen en .

Figuur 1 Cardano

Gauss (1777-1855) was de eerste die zulke uitdrukkingen 'complexe getallen' noemde.

Bombelli uit Bologna zette in zijn boek 'Algebra' uit 1572 een theorie van imaginaire en complexe getallen uiteen. Voor schreef hij R[0 m. 9], met R voor radix (= wortel) en m. voor meno (= min). Aan hem is het te danken dat de imaginaire getallen iets van hun bovennatuurlijke karakter kwijtraakten.

De notatie werd geïntroduceerd door Leonard Euler (1707 - 1783). Hij heeft een formule naar zich vernoemd gekregen:

Figuur 2 Euler

Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865) kwam op het idee om een complex getal op te vatten als een geordend paar reële getallen. Dit was erg handig om rotaties van de twee-dimensionale ruimte eenvoudiger weer te geven. Zo doen we dat nu nog steeds.

Abraham de Moivre (1677 - 1754) heeft aardig gewerkt aan de complexe getallen en er is ook een stelling naar hem genoemd, namelijk .

Invoeren van complexe getallen

Op school wordt bij wiskunde gewerkt met de natuurlijke, de gehele, de rationale en de reële getallen. De bijbehorende verzamelingen respectievelijk N, Z, Q en R worden steeds groter; bijvoorbeeld de vergelijking 2x = 1 die je in Z niet op kunt lossen, kun je in Q wel oplossen. Helaas is ook R niet groot genoeg om voor elke vergelijking een oplossing te vinden. De vergelijking x² = -1 heeft nog steeds geen oplossingen. Daarom gaan we de verzameling van de reële getallen R uitbreiden tot de verzameling van de complexe getallen C.

De verzameling R wordt voorgesteld door een getallenlijn, de reële rechte. Ieder getal op die lijn komt voor in R. Dat betekent hoe we R ook gaan uitbreiden, we kunnen de nieuwe verzameling niet voorstellen door een lijn. Daarom maken we een assenstelsel van twee getallenlijnen; we krijgen het vlak R².

Figuur 3 Het vlak R² en het complexe vlak C

We kunnen een punt in het vlak vastleggen met de coördinaten a en b, maar we doen het ietsje anders. We voeren een nieuw symbool i in, wat voldoet aan de vergelijking i² = -1. De punten op de horizontale as kunnen we nu beschouwen als de oude reële getallen, en alle punten die niet op de horizontale as liggen als 'nieuwe' getallen waarbij i een rol gaat spelen. Op de verticale as liggen de punten bi , dat is dus het product van het reële getal b en het getal i. Een punt in het complexe vlak met de coördinaten (a,bi) noemen we a + bi. Dit is dus de som van a en bi.

Rekenen met complexe getallen

Het complexe getal a + bi kun je verdelen in een reëel deel a en een imaginair deel b. Je kunt een getal in het complexe vlak plaatsen door het reële deel op de horizontale as en het imaginaire deel op de verticale as uit te zetten. Bij het optellen en vermenigvuldigen van twee complexe getallen kom je met de som respectievelijk het product op een andere plaats in het complexe vlak terecht.

Bij het optellen van complexe getallen tel je beide componenten apart op: de reële delen tel je op en de imaginaire delen tel je op. Oftewel . Bijvoorbeeld .

Het vermenigvuldigen van complexe getallen kunnen we beschrijven met de gelijkheid .

We willen ook een handige eigenschap laten zien van het vermenigvuldigen van complexe getallen. We beginnen in het punt (1, 0). Dit vermenigvuldigen we met i². Je komt dan in het punt (-1, 0), want i² = -1 . Dus door het vermenigvuldigen draaien we over een hoek van 180^o.

Figuur 4 Vermenigvuldigen met i²

Vermenigvuldigen met i² is eigenlijk hetzelfde als twee keer vermenigvuldigen met i . Vermenigvuldigen met i is dan hetzelfde als draaien over een hoek van 90^o. Als je het punt (1, 0) vermenigvuldigt met i dan kom je uit in het punt (0,i). Dit is een voorbeeld, dat je bij het vermenigvuldigen van complexe getallen de hoeken van beide componenten op moet tellen.

Algemeen geldt, dat je om twee complexe getallen (twee vectoren in het complexe vlak) te vermenigvuldigen de hoeken van de vectoren op moet tellen, en dat hierbij ook de lengtes van de vectoren worden vermenigvuldigd. Dit is algebraïsch te bewijzen.

Wortel trekken

Wortel trekken kunnen we beschouwen als het omgekeerde van kwadrateren. We moeten dus de helft van de hoek nemen en de wortel van de lengte nemen.

Ook algebraïsch kun je de wortel van een complex getal a + bi bepalen. De uitkomst van de wortel is namelijk een complex getal x + iy waarvoor geldt . Je kunt bewijzen dat voor x moet gelden en dat voor y moet gelden .
Met een getallenvoorbeeld zullen we dit nu toelichten. We gaan berekenen, dus a = 3 en b = 4. Het reële deel en het imaginaire deel . Dus . Reken maar na dat het kwadraat van 2 + i gelijk is aan 3 + 4i.

Het middelpunt, het zwaartepunt en het hoogtepunt

De middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt, dit is het middelpunt M van de omgeschreven cirkel van de driehoek.
De zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt, dit is het zwaartepunt Z van de driehoek.
De hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt, dit is het hoogtepunt H van de driehoek.
Figuur 5 De punten M, Z en H

Te bewijzen: de punten M, Z en H liggen op één lijn.
Stel we nemen nu een willekeurige driehoek en tekenen de omgeschreven cirkel er omheen. Daarna tekenen we er een assenstelsel in, zo dat het middelpunt M van de omgeschreven cirkel in de oorsprong ligt. Als eenheid nemen we de straal van de cirkel. De cirkel is nu te vergelijken met de eenheidscirkel.

Figuur 6 De drie punten op één lijn

Je kunt dan met aardig wat goniometrie bewijzen dat geldt:
' het zwaartepunt
' het hoogtepunt

Als de drie punten op dezelfde lijn liggen, dan moet de steilheid van de lijnen MZ en MH gelijk zijn.

De steilheid van MZ is:


De steilheid van MH is:


De steilheid is gelijk, dus het middelpunt van de omgeschreven cirkel, het zwaartepunt en het hoogtepunt van een driehoek liggen op één lijn. Nog preciezer: om uit het punt H het punt Z te krijgen, moet je H ten opzichte van M (de oorsprong) vermenigvuldigen met 1/3.

Conclusie

In het begin hadden we grote verwachtingen van ons werkstuk. We hadden vier deelvragen waarop we antwoorden zijn gaan zoeken. Achteraf bleek het onderwerp daar toch iets te moeilijk voor te zijn. Er waren deelvragen die te diep op het onderwerp ingingen en die voor ons te moeilijk waren om uitgebreid te beantwoorden.

De 'grootste' verzameling die op school wordt behandeld, is de verzameling R van de reële getallen. Helaas is R niet groot genoeg om voor elke vergelijking een oplossing te vinden. Door de verzameling R uit te breiden tot de verzameling van de complexe getallen C, kunnen we nu meer vergelijkingen oplossen.

We vonden het leuk om een PWS te maken, vooral ons bezoek aan dhr. Kortram, een wiskundige van de Radboud Universiteit Nijmegen, was erg leuk. We hebben veel van hem geleerd, ook al waren sommige dingen die hij vertelde toch te moeilijk. Gelukkig kon dhr. Van Schalkwijk, een wiskunde-leraar bij ons op school, dit op een makkelijkere manier uitleggen.

Ook hebben we veel geleerd over de computer, dat kon nog wel eens van pas komen. We weten nu hoe we makkelijk grafieken en tekeningen op de computer kunnen maken. Ook weten we hoe je makkelijk breuken en wortels kunt weergeven. Dit koste aanvankelijk erg veel tijd. Hier hadden we niet op gerekend. Gelukkig gaat dat nu allemaal een stuk sneller.

---